꧂Catatan Proses Berpikir Matematika ꧂

PEMBUKTIAN MATEMATIKA 

 

💙 Pembuktian Langsung 

Proses pembuktian dilakukan pada pernyataan yang akan dibuktikan. Strategi pembuktian langsung dilakukan dengan pengembangan premis dari pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya.

Example

Soal: 

Buktikan apabila n bilangan ganjil maka n² juga bilangan ganjil!

Penyelesaian:

n = 2k + 1 (k bilangan bulat) [n bilangan ganjil]

n² = (2k + 1)²

       = 4k² + 4k + 1

       = 2 (2k² + 2k) + 1

n² = 2 (p) + 1 = 2p + 1 [n² bilangan ganjil] 

Jadi terbukti bahwa apabila n bilangan ganjil maka n² juga bilangan ganjil ☺ 

 💙 Pembuktian Tidak Langsung

⓵ Kontraposisi

Ingat! p → q = ~ q → ~ p

Oleh karena itu jika ~ q → ~ p benar maka p → q juga benar

Example 

Soal: 

Jika m dan n genap maka m + n genap, buktikan!

Penyelesaian: 

Pernyataan di atas adalah bentuk p → q maka ~ q → ~ p . Jika m + n ganjil maka m atau n ganjil dengan m + n adalah ganjil dapat dinyatakan m + n = 2k + 1 , (k bilangan bulat)

Step 1) 

Misal m ganjil, m = 2p + 1 (p bilangan bulat)

m + n = 2k + 1

(2p + 1) + n = 2k + 1

n = 2k + 1 - (2p + 1)

n = 2k - 2p

n = 2 (k - p) , (misal k - p = s dengan s bilangan bulat)

n = 2s

n = bilangan genap

Step 2)

Selanjutnya misal m genap, m = 2q (q bilangan bulat) 

m + n = 2k + 1

2q + n = 2k + 1

n = 2k + 1 - 2q

n = 2 (k - q) + 1 , (misal k - q = t dengan t bilangan bulat)

n = 2t + 1

n = bilangan ganjil

Sehingga, jika m + n ganjil maka m atau n ganjil terbukti benar. Jadi m dan n genap maka m + n genap juga dan terbukti benar. ☺

⓶ Kontradiksi

 Ingat p → q = ~ p V q 

      ~ (p → q) = p ^ ~ q 

 Jadi disini kita dapat mengatakan untuk membuktikan p → q benar, kita dapat menunjukan bahwa p ^ ~ q salah dengan memprosesnya secara deduktif sampai mendapat sesuatu yang tidak mungkin terjadi (suatu kontradiksi) dengan nilai kebenaran yang salah.

Example

Soal:

Buktikan jika m dan m genap maka m + n genap! 

Penyelesaian: 

Pernyataan diatas berbentuk p → q maka p ^ ~ q adalah m dan n genap dan m + n ganjil, dari sini kita asumsikan m + n ganjil dengan m dan n genap. Misal m + n = 2k + 1 (k bilangan bulat) dan m = 2p (p bilangan bulat)

m + n = 2k + 1

2p + n = 2k + 1

n = 2k - 2p + 1

n = 2 (k - p) + 1

misal k - p = s (s bilangan bulat)

sehingga, n = 2s + 1 (s bilangan bulat)

n = bilangan ganjil

Hal ini kontradiksi dengan asumsi awal sehingga memisalkan m + n ganjil adalah salah dan yang benar adalah m + n genap. Jadi jika m dan n genap, m + n genap terbukti benar. ☺

Sumber: Dosen Proses Berpikir Matematika Ibu Musriana Retnaningsih